给定 $k$ 个互不相同的复数 $x_0,\cdots,x_{k-1}$,以及 $k$ 个复数$y_0,\cdots,y_{k-1}$.我们知道存在唯一的复系数 $k-1$ 次多项式
$$\mathcal{P}_{k-1}(x)=\xi_0+\xi_1x+\cdots+\xi_{k-1}x^{k-1}$$使得$$\mathcal{P}_{k-1}(x_0)=y_0,\cdots,\mathcal{P}_{k-1}(x_{k-1})=y_{k-1}.$$其中 $\xi_0,\cdots,\xi_{k-1}\in\mathbf{C}$.这个结论是范德蒙行列式不为0的一个简单推论.特别的,我们令 $x_i=\omega^i$,其中 $\omega=e^{\frac{2\pi i}{k}}$,我们就得到了三角插值多项式.为了确定三角插值多项式的系数,我们使用 Cramer 法则.我们知道$$\begin{cases}\xi_0+\xi_1\omega^0+\cdots+\xi_{k-1}\omega^0=y_0\\ \xi_0+\xi_1\omega^1+\cdots+\xi_{k-1}\omega^{k-1}=y_1\\\xi_0+\xi_1\omega^2+\cdots+\xi_{k-1}\omega^{2(k-1)}=y_2\\\vdots\\\xi_0+\xi_1\omega^{k-1}+\cdots+\xi_{k-1}\omega^{(k-1)(k-1)}=y_{k-1}.\end{cases}$$因此$$\xi_i=\frac{\begin{vmatrix} \omega^{0}&\omega^0&\cdots&y_{0}&\cdots&\omega^{0}\\ \omega^0&\omega^1&\cdots&y_{1}&\cdots&\omega^{k-1}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\\omega^0&\omega^{k-1}&\cdots&y_{k-1}&\cdots&\omega^{(k-1)(k-1)}\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \omega^{0}&\omega^0&\cdots&\omega^{0}\\\omega^0&\omega^1&\cdots&\omega^{k-1}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\\omega^0&\omega^{k-1}&\cdots&\omega^{(k-1)(k-1)}\\ \end{vmatrix}}.$$设 $$\begin{pmatrix} y_0\\y_1\\\vdots\\y_{k-1}\\\end{pmatrix}=\alpha_0 \begin{pmatrix} \omega^{0}\\\omega^{0}\\\vdots\\\omega^0\\\end{pmatrix}+\cdots+\alpha_i \begin{pmatrix} \omega^{0}\\\omega^{i}\\\vdots\\\omega^{i(k-1)}\\ \end{pmatrix}+\cdots+\alpha_{k-1}\begin{pmatrix} \omega^{0}\\\omega^{k-1}\\\vdots\\\omega^{(k-1)(k-1)}\end{pmatrix},$$则 $\xi_i=\alpha_i$.于是我们只用求 $\alpha_i$ 即可.易得$$\alpha_i=\frac{1}{k}\begin{pmatrix} y_0\\y_1\\\vdots\\y_{k-1}\\\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \omega^0\\\omega^{-i}\\\vdots\\\omega^{-i(k-1)}\\\end{pmatrix}.$$